Rabu, 22 Juni 2016

Fungsi Bab 13



Fungsi adalah sekumpulan perintah operasi program yang dapat menerima argumen input dan dapat memberikan hasil output yang dapat berupa nilai ataupun sebuah hasil operasi. nama fungi yang didefinisikan sendiri oleh pemrogram tidak boleh sama dengan nama build-in function pada compiler  C++. Fungsi digunakan agar pemrogram dapat menghindari penulisan bagian program (kode) berulang-ulang, dapat menyusun kode program agar terlihat lebih rapi dan kemudahan dalam debugging program.


Tujuan penggunaan fungsi :
  • Program menjadi terstruktur, sehingga mudah di pahami dan mudah di kembangkan dengan memisahkan langkah-langkah detail ke satu atau lebih fungsi-funsi, maka fungsi utama menjadi lebih pendek, jelas dan mudah di mengerti
  • Dapat mengurangi pengulangan kode program, langkah-langkah program yang sama dan dipakai berulang-ulang di program dapat di tuliskan sekali saja secara terpisah dalam bentuk fungsi-fungsi. selanjutnya bagian program yang membutuhkan langkah-langkah ini tidak perlu selalu menuliskanya tetapi cukup memanggil funsi-funsi tersebut.
 Fungsi dapat diimplementasikan dalam tiga bentuk : 
  • Pendeklarasian fungsi sebagai prototype fungsi.
  • Pendefinisian fungsi.
  • Pemanggilan fungsi dari program lain.
Referensi
http://jamilah.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/21766/FUNGSI+BHSC-M10.doc
http://lecturer.poliupg.ac.id/~ahyar/pemrograman/praktek/prak12.pdf
FUNGSI INJEKTIF ( SATU-KE-SATU )
Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).  Atau jika a = b maka f (a) = f (b). 
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau (injective) jika  tidak  ada  dua  elemen himpunan memiliki bayangan sama.

Contoh 1 :
Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu. Di sini f(1) = w, f(2) = u, dan f(3) = v. Daerah asal dari f adalah A dan daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u, v, w}, yang dalam hal ini anggota dari himpunan B. Mengapa dikatakan fungsi satu-ke-satu? Karena, anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B. Dan tidak ada dua  elemen himpunan A yang memiliki bayangan yang sama pada himpunan B.

Contoh 2 :
Misalkan f : Z    ->   Z.. Tentukan apakah f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?
Solusi :
Berdasarkan definisi, Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau injektif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika a ≠ b maka f (a) ≠ f (b).  Atau jika a = b maka f (a) = f (b).
f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ≠ b, maka
a – 1 ≠ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.

    FUNGSI SURJEKTIF ( PADA / ONTO )
Fungsi f dikatakan surjektif (surjective) atau pada (onto) jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.
Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f (x) = y.

Contoh 1 :
Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah dari f. Selain itu anggota daerah asal dari f adalah A memiliki tepat satu pasangan pada daerah kawan dari f adalah B.

Contoh 2 :

Misalkan f : Z   ->    Z.. Tentukan apakah f(x) = x – 1 merupakan fungsi onto atau surjektif?
Solusi :
Berdasarkan definisi, Fungsi f disebut fungsi pada (onto) atau surjektif jika setiap y pada B memiliki preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x dalam A demikian hingga f (x) = y.
f(x) = x – 1 adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.


Domain, Kodomain & Range
Fungsi (matematika)
Domain dan Kodomain
Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil
https://i1.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Codomain.SVG/250px-Codomain.SVG.png
Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain
contoh 1 :
Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan ” setengah dari “.
Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.
Dari fungsi di atas maka : 
Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }
contoh 2 :
Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :
a. Himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
a. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),
(4, 8),(6, 6)}
contoh 3 :
Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :
Jawab:
Domain = {2, 4, 6}
Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}
Range = { 2, 4, 6, 8, 10}
contoh 4 :
Perhatikan diagram panah berikut.
https://i0.wp.com/www.crayonpedia.org/wiki/images/c/c3/Fungsi_soal_4.jpg
Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi
himpunan P ke himpunan Q dengan relasi “dua
kali dari”. Tentukanlah domain, kodomain, dan
range fungsinya.
Jawab :
• Domainnya (Df) adalah P = {4, 6, 8, 10}
• Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5}
• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4, 5}
sumber :
  1. http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_(matematika)
  2. http://alinelizabeth2.blogspot.com/2013/06/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html
  3. http://trisofiya.wordpress.com/2013/06/20/tugas-matematika-iad-fungsi-domain-kodomain-range/
  4. http://vynhe.blogspot.com/2013/07/domain-kodomain-dan-range-fungsi.html
  5. http://geuliskaramadhan.blogspot.com/2013/06/tugas-12-matematika-iad-fungsi-domain.html

Relasi Bab 12



Pengertian Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.
contoh soal: 
A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.
keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.
Jawaban dengan tiga metode:
a. Dengan metode diagram panah
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6KZZzZEwKUyFn5-54DBPlWjfJxX9qMsRdAxe0BB2RZ0M_1ZDqcY4i_wiYx-y46C6-s2Mn4BbN281P2GCToqOnoF1UPy4uJXcjh-gvputL8FjLfhGkMx71Ds20jiO4txYCHT4g0Ij8X9w/s1600/relasi+diagram.JPG


b. Dengan metode diagram Cartesius
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDJGYFNN-eMD3uOVegKYMyGylSe3rr4WxCBM9wCBbPdKh7NAi7kZGMoHvOywVSAXCLON3DKPtsXgeoDBw0w5-rMSXRLL7YIGxsowZvN-iiKvfNp2iNSsmREa6p25hemRE2F22V4UGM6A4/s1600/cartesius.JPG

c. Dengan metode himpunan pasangan berurutan
{(Buyung, IPS), (Buyung, kesenian), (Doni, keterampilan), (Doni, olahraga), (Vita, IPA), (Putri, matematika), (Putri, bahasa Inggris)}


Relasi komposisi dan relasi invers
FUNGSI KOMPOSISI
     Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan dan akan menghasilkan sebuah fungsi baru.
Image

fungsi komposisi f dan g dapat di tuliskan h(x) = (f o g)(x) =  f (g(x)), yang berarti fungsi h(x) adalah komposisi g dilanjutkan dengan fungsi.
Image

FUNGSI INVERS
     Fungsi invers berarti fungsi kebalikan. Simbol f-1(x) merupakan fungsi invers dari f(x), sehingga berarti f-1(x) = f(y).
Image

soal :
Relasi komposisi  
diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R dengan f(x) = 2x² – x – 3 dan g (x) = x +5. 
Tentukan : 
  • ( g ο f ) (x) 
  • ( g ο f ) (2) 
  • ( f ο g ) (1) 
Jawab : 
f(x) =  2x² – x – 3 dan g (x) = x +5
maka
  1. ( g ο f ) (x)  = g(f(x)) = g( 2x² – x – 3) 
                           = (2x² – x – 3) + 5
                           = 2x² – x + 2
   2. ( g ο f ) (2)   = 2(2)² – (2) + 2 
                           = 8 – 2 + 3 
                           = 9
  3. ( f ο g ) (1)    = f(g(x)) = f(x+5) 
                           = 2(x+5)² – (x+5) – 3 
                           = 2(x² + 10x + 25) – x – 5 – 3 
                           = 2x² + 19x + 42 

Relasi invers 
Diketahui f(x) = 2 x – 5 
Tentukan : 
  1. f‾¹ (x) 
    2. f(x) = 3x + 2b , x ≠ 1/2 
                  2x – 1 
invers dari fungsi f(x) adalah f‾¹ (x) = ….. 
Maka, 
  1. f(x) = 2x – 5 
           y  = 2x – 5 
        2x   = y + 5 
          x   =y + 5
                    2 
   2. f(x) =  ax + b
                 cx + d 
invers, f‾¹ (x) = -dx + b 
                          cx – a 

            f(x)    = 3x + 2 
                         2x – 1 
           f‾¹ (x)  = – ( -1)x + 2 
                            2x – 3 
                     =  x + 2 
                         2x – 3 
sumber : http://kamarmatematika.blogspot.com/2012/02/komposisi-fungsi-relasi-dan-fungsi_24.html
Sifat Reflektif , sifat Simetris , sifat transitif , sifat Antisimetris


Sifat-1:  Sifat Reflektif Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p P berlaku (p, p) R.

Contoh:
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

Sifat-2: Sifat Simetris Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) R berlaku (y, x) R.

Contoh:
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) R, berlaku (y,x) R.

Sifat-3: Sifat Transitif Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R bersifat transitif apabila untuk setiap (x,y) R dan (y,z) R maka berlaku (x,z) R.

Contoh:
Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) R dan (y,z) R maka berlaku (x,z) R.

Sifat-4: Sifat Antisimetris Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) R dan (y,x) R berlaku x = y.

Contoh:
Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) a kelipatan b, a,b C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.


Pengertian dan Fungsi PARTISI (hardisk)

1.    Pengertian partisi:
Partisi adalah pengaturan data pada harddisk. Atau bisa juga proses pembagian ruang-ruang kosong pada harddisk untuk memberikan File System pada ruang kosong yang terdapat pada harddisk, kemudian ruang kosong pada harddisk yang telah diberi File System tersebut, digunakan untuk menyimpan berbagai macam data dan sistem operasi.
Intinya partisi itu untuk membagi ruang kosong yang terdapat pada harddisk untuk di isi berbagai macam data.
logikanya harddisk itu adalah sebuah Rumah. Tentunya rumah tersebut harus memiliki ruangan-ruangan agar rumah bisa layak huni. Kemudian rumah tersebut dibagi menajdi beberapa ruangan yang tiap ruangan tersebut, berbeda jenis dan fungsinya. Setiap rumah pasti ada kamar tidur, WC, gudang, dan lain-lain.
Begitu juga harddisk. Harddisk agar bisa digunakan secara optimal, harddisk harus dipartisi dan diberi File System (Jenis ruangan pada rumah). File System pada harddisk berbeda-beda jenis dan kegunaannya. Seperti jenis File System NTFS, FAT 32, EXT 3, dan lain-lain.
Terdapat 3 tipe partisi. Diantaranya adalah :
1.      Partisi Primary,  merupakan partisi utama pada harddisk yang memuat sejumlah file data. Fungsi dari partisi primary ini juga sebagai partisi yang
pertama diakses komputer untuk booting. Jadi, intinya partisi tipe ini digunakan untuk menyimpan file data dari system operasi yang kemudian digunakan untuk booting sistem operasi tersebut. Bisa dibilang data dari sistem operasi tersebut disimpan disini.
2.      Partisi Extended, partisi ini juga merupakan partisi utama pada harddisk. Partisi Extended berfungsi untuk mengatasi keterbatasan pembagian partisi. Partisi Extended tidak menangani pengolahan data secara langsung. Untuk dapat menggunakannya, kita harus menciptakan Partisi Logical terlebih dahulu. Bisa dibilang tipe partisi ini adalah partisi lain selain Partisi Primary.
3.     Partisi Logical, merupakan partisi sampingan yang terdapat pada partisi Extended. Partisi Logical mampu menampung berbagai macam file data.
Nah, ini contohnya drive  dan seterusnya pada Windows. Jadi, partisi Extended terdiri dari Partisi Logical.
2.Fungsi partisi :
  • Multiple Filesystem – Ketika kamu membuat partisi maka kamu harus melakukan format terlebih dahulu sebelum dapat digunakan. Ketika melakukan format, kamu harus memilih filesystem telebih dahulu. Filesystem ini memiliki beberapa type yang memiliki keunggulan masing-masing, seperti NTFS memiliki keunggulan kecepat akses yang lebih tinggi daripada FAT dan FAT32.
  • Ukuran Partisi – Pada sistem operasi lama ukuran maksimum partisi lebih terbatas. Karena itu kamu memerlukan partisi untuk membagi ukuran hardisk yang kamu miliki.
  • Multiple Sistem Operasi – Mungkin diantara kamu ada yang menginstall berbagai sistem operasi dalam satu komputer, seperti Windows 7 dan Ubuntu. Seperti yang sudah kamu ketahui kalau Ubuntu bisa membaca partisi Windows, namun sebaliknya Windows tidak bisa membaca partisi Ubuntu. Maka dari itu kamu perlu membuat dua partisi yang berbeda dan menginstall boot loader untuk dapat menjalankan sistem operasi.
  • Ruang Hardisk yang Lebih – Ketika filesystem menyimpan data di partisi, partisi yang lebih besar akan semakin banyak memiliki ruang hardisk kosong. Dengan memiliki beberapa partisi dengan ukuran yang lebih kecil, kamu dapat mengurangi jumlah sampah dari filesystem.
  • Filesystem terpisah dengan filesystem user – Beberapa komponen sistem operasi membutuhkan ruang tersendiri, sedangkan user juga membutuhkan partisis ruang sendiri. Karena itu kamu harus membuat partisi yang terpisah dari partisis filesystem sistem operasi.
http://nyonglalakwoy.blogspot.com/2015/04/pengertian-dan-fungsi-partisi-hardisk.html