Pengertian, Penulisan, dan Macam Himpunan Bab 10

Pengertian, Penulisan, dan Macam Himpunan

matematika teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
NOTASI HIMPUNAN
biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).


RELASI ANTAR HIMPUNAN
HIMPUNAN BAGIAN
Dari suatu himpunan, misalnya A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.
· {Kucing,Anjing}
· {Anjing, Monyet}
· {Kucing, Kelinci, Monyet}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:
B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.
Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka juga subhimpunan dari A.
Untuk sembarang himpunan A,
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.
Untuk sembarang himpunan A,
Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.




SUPER HIMPUNAN
Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.






KESAMAAN DUA HIMPUNAN
Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.
Atau Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.


HIMPUNAN KUASA
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A.
Jika A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet }
{ { },
{Kucing}, {Anjing}, { Kelinci }, { Monyet },
{Kucing, Anjing}, {Kucing, Kelinci }, {Kucing, Monyet },
{Anjing, Kelinci }, {Anjing, Monyet }, { Kelinci, Monyet },
{Kucing, Anjing, Kelinci }, {Kucing, Anjing, Monyet }, {Kucing, Kelinci, Monyet }, {Anjing, Kelinci, Monyet },
{Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet } }
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.


B. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika


C. OPERASI ANTARA HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Secara sederhana, himpunan artinya kumpulanbenda (objek). Sedangkan dalam dunia matematika himpunan didefiniskan sebagai suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas.


misalnya:
1) A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.
2) B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}


2. Menyajikan himpunan dalam bentuk pendaftaran (tabulasi) dan perincian
Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1,
Himpunan dapat disajikan dengan cara:
1. Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.
Contoh:
a. N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}.
b. P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}.

2. Menyajikan sifat-sifat anggotanya
Contoh:
a. A = {bilangan asli}
b. C = {bilangan cacah}
c. D = {bilangan bulat negatif}
d. E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}


3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk
{x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R.
Contoh:
a. Himpunan A di atas disajikan dengan
A = {x | x adalah bilangan asli}.
b. Himpunan E di atas disajikan dengan
E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.


Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A).
Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4,
n{} = 0,
n({bilangan asli}) = tak terhingga
3. . Menyebutkan macam-macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya atau hubungan
1. Himpunan Bagian (Subset).
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Dinyatakan dengan simbol : A ⊂ B
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4}
2. Himpunan Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Contoh :
A = {x Î R |x2 + 4 = 0 }


3. Himpunan Semesta


Contoh :
a. Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:
U = himpunan bilangan cacah




4. Menggambarkan hubungan antara himpunan dengan Diagram Venn
Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.



5. Menjelaskan kembali operasi-operasi antar himpunan berikut contohnya

Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.
1. OPERASI GABUNGAN (UNION)
Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut :
A È B = { x | x Î A V x Î B }
.
Contoh :
a. Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan
B = { 1,3,5,7,9 } ,maka
A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }


2. OPERASI IRISAN (INTERSECTION)
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ÇB, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, dapat didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x| x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)



3. OPERASI SELISIH
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jadi A – B berbeda dengan B – A. Perhatikan Gb. 1.4, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }




D. HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA


1. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}
2. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}
3. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain


E. BILANGAN BULAT DAN RIIL


1. Mengenal himpunan Bilangan, menyebutkan sifat-sifat bilangan dan anggotanya
HIMPUNAN
Suatu himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota himpunan atau tidak.



2. Membedakan Bilangan Bulat dan Riil


Bilangan bulat


Contoh:
2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.
2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif
2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif





sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.

http://kimerikrahadianz.blogspot.com/2014/07/pengertian-penulisan-dan-macam-himpunan.html

Diagram Venn pertama kali diketemukan oleh John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun 1834–1923. Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang, sedangkan himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya.

Agar Anda dapat memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, pelajari uraian berikut.

Diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9};

P = {0, 1, 2, 3, 4}; dan

Q = {5, 6, 7}

Himpunan S = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 9} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan). Dalam diagram Venn, himpunan semesta dinotasikan dengan S berada di pojok kiri.

Perhatikan himpunan P dan Q. Karena tidak ada anggota persekutuan antara P dan Q, maka PΛQ = { }. Jadi, dapat dikatakan bahwa kedua himpunan saling lepas. Dalam hal ini, kurva yang dibatasi oleh himpunan P dan Q saling terpisah.

Selanjutnya, anggota-anggota himpunan P diletakkan pada kurva P, sedangkan anggota-anggota himpunan Q diletakkan pada kurva Q. Anggota himpunan S yang tidak menjadi anggota himpunan P dan Q diletakkan di luar kurva P dan Q. Diagram Venn-nya seperti Gambar 6.4 di bawah ini.

Contoh Soal Tentang Diagram Venn
Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan), A = {1, 2, 3, 4, 5}, dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambarlah dalam diagram Venn ketiga himpunan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:

S = {1, 2, 3, ..., 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {2, 4, 6, 8, 10}

Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa AΛB = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling berpotongan. (Mengapa?) Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan). Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut

http://mafia.mafiaol.com/2013/01/pengertian-diagram-venn.html

Kalian pastinya sudah mengetahui bahwa di dalam matematika biasanya suatu himpunan dinyatakan dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, C, D, E, F, ... dst. Adapun objek atau hal-hal lain yang terdapat di dalam himpunan tersebut dituliskan diantara kurung kurawal {....} dan tiap-tiap objek itu dipisahkan dengan menggunakan koma, contohnya adalah:

- A merupakan himpunan bilangan ganjil dari yang lebih kecil dari 15, 

   maka A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}

- B merupakan himpunan bilangan genap antara 1 dan 13 

   maka B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Tiap-tiap objek ataupun benda yang berada di dalam kurung kurawal adalah anggota dari himpunan tersebut. Anggota himpunan biasa disebut juga sebagai elemen yang dinotasikan dengan lambang ∈. Sedangkan objek-objek ataupun benda yang tidak termasuk kedalam suatu himpunan dapat dianggap bukan anggota dari himpunan tersebut dan biasanya dinotasikan dengan lambang ∉.

Jumlah anggota dari suatu himpunan basanya dinyatakan sebagai n. Apabila C = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11} maka banyaknya anggota himpunan B dituliskan sebagai n(C) = 8.

Di dalam matematika, himpunan bilangan tertentu biasanya dilambangkan atau dinotasikan dengan menggunakan huruf kapital tertentu, contohnya:

Contoh soal Notasi dan Anggota Himpunan

a. A adalah himpunan hewan laut.

b. K adalah hmpunan bilangan cacah yang kurang dari 10

c. M adalah himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf J.

Jawab:

a. Anggota himpunan hewan laut adalah ikan, gurita, cumi-cumi, kerang, dst. Maka, A = {ikan, gurita, cumi-cumi, kerang,... dsb.}

b. Anggota himpunan bilangan cacah yang kurang dari 10 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Maka, K = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c. Anggota himpunan nama bulan yang diawali dengan huruf J adalah Januari, Juni, dan Juli. Maka, M = {Januari, Juni, Juli}

http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/06/pengertian-notasi-himpunan-dan-anggota-himpunan.html

Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1, dsb. Pernyataan a anggota A, dilambangkan dengan

Himpunan dapat disajikan dengan cara:
1. Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.
Contoh:
a. N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}.
b. P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}.

c. H adalah himpunan pancaindra manusia disajikan dengan
H = {penciuman, perasa, pendengaran, penglihatan, peraba}
d. A adalah himpunan bilangan asli disajikan dengan
A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
e. B adalah himpunan bilangan bulat disajikan dengan
B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

2. Menyajikan sifat-sifat anggotanya
Contoh:
a. A = {bilangan asli}
b. C = {bilangan cacah}
c. D = {bilangan bulat negatif}
d. E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}
3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk
{x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R.
Contoh:
a. Himpunan A di atas disajikan dengan
A = {x | x adalah bilangan asli}.
b. Himpunan E di atas disajikan dengan
E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.

Himpunan yang tidak mempunyai anggota dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan {}.
Contoh himpunan kosong:
1. Himpunan mahasiswa yang berat badannya lebih dari 1 ton.
2. Himpunan maling yang tak pernah mencuri.
3. Himpunan bilangan cacah negatif.

Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A).
Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4,
n{} = 0,
n({bilangan asli}) = tak terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya berhingga (finit) disebut himpunan berhingga. Sebaliknya himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga, misalnya {bilangan asli}. Disebut himpunan tak hingga (infinit).
Catatan:
Himpunan semua obyek yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta dan dinotasikan dengan S atau U. Himpunan semesta harus kita tentukan dahulu sebelum kita membicarakan himpunan objek dengan sifat-sifat yang lebih khusus.
Contoh:
S = {bilangan asli}



K2 = {x | x2 + x = 2} = {1}
K3 = {x | x < 1} = {}

http://pend-matematika.blogspot.com/2012/07/notasi-dan-cara-menyajikan-himpunan.html

Operasi antar himpunan

a.       Irisan dua himpunan

b.      Gabungan dua himpunan

Contoh :

K = {2, 3, 5, 7, 11}

L = {bilangan prima yang kurang dari 12}

Dengan mendaftarkan anggotanya, diperoleh :

K = {2, 3, 5, 7, 11}

L = {2, 3, 5, 7, 11}

K υ L = {2, 3, 5, 7, 11} = K = L

   

c.       Selisih dua himpunan

Contoh :

Diketahui :

A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}

Selisih A dan B adalah A-B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, sedangkan selisih B dan A adalah B-A = {a, c, f, g}} – {a, b, c, d} = {f, g}

d.      Komplemen suatu himpunan

Contoh :

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}}. Komplemen himpunan A adalah Aᶜ = {1, 2, 6, 7}

3.       Car a penyajian bentuk table dan rincikan macam-macam himpunan berdasarkan  jumlah anggota atau hubungan. Beri contoh

Jawab :

Macam-macam himpunan	penjelasan	Contoh
Himpunan berhingga	himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga	jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n (A) = 5. Himpunan A disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya nggota A berhingga.
Himpunan tak berhingga	himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga	jika B adalah {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4, 6, 8,….} , dengan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga, karena banyak anggota B tak berhingga.
Himpunan kosong	himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau  ᶲ	jika N adalah himpunan nama-nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. maka N adalah himpunan kosong ditulis N= ᶲ atau N = { }, karena tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf C.
Himpunan semesta	himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan S	jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka himpunan semesta dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}. Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari P. himpunan S memuat semua anggota himpunan P.
Himpunan bagian	himpunan yang memuat bagian anggota atau objek himpunan yang dibicarakan	A = {1, 2, 3} , B = {4, 5, 6} , C = {1, 2, 3, 4, 6}. Berdasarkan ketiga himpunan, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian C, ditulis A Ç  C atau C ᴝ A

4.       Gambarkan hubungan antara himpunan dengan diagram ven, beri contoh

Jawab :

Contoh :

5.       Apa yang dimaksud bilangan bulat dan bilangan rill. Beri contoh

Jawab :

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan baik negative maupun positif

Contoh :

…., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…

Bilangan rill adalah bilangan gabungan dari rasional dan irrasional

Contoh :

Log  9,5/8 , -3,0,3

Sumber :

http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Vennv

Nuharini dewi, wahyuni tri (2008) Matematika konsep dan aplikasinya

Surabaya : pusat perbukuan departemen pendidikan nasional

OPERASI HIMPUNAN DALAM DIAGRAM VENN

Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram Venn

Browse » Home » Label: Himpunan » Menyajikan Operasi Himpunan dalam Diagram Venn

Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn.

Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P  Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.

Gmbar 1. Daerah yang di arsir merupakan P irisan Q

Daerah yang diarsir pada diagram Venn di samping menunjukkan daerah P  Q. 

Adapun daerah arsiran pada Gambar di bawah menunjukkan daerah P  Q.

Gambar 2. Daerah yang diarsir merupakan P gabungan Q

Berdasarkan diagram Venn di di atas, tampak bahwa P  Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9}.

Agar anda lebih memahami cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, perhatikan contoh berikut.

Diketahui S = {0, 1, 2, ..., 15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.

a. P  Q  R

b. P  Q

c. Q  R

d. P  (Q  R)

e. Q^C 

f. P – R

Penyelesaian:

Diketahui:

S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan

R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.

Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui

bahwa P  Q  R = {2}

P  Q = {1, 2, 5}

Q  R = {2, 10}

P  R = 2, 4, 6}

Diagram Venn-nya sebagai berikut

Gambar 3. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R

a. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan P  Q  R.

Gambar 4. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q irisan R

b. Daerah arsiran di di bawah menunjukkan himpunan P  Q. Tampak bahwa P  Q = {1, 2, 5}.

Gambar 5. Daerah yang diarsir merupakan P irisan Q

c. Daerah yang diarsir pada diagram Venn di bawah menunjukkan himpunan Q  R. Dari gambar dapat diketahui bahwa Q  R = {1, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 14}.

Gambar 6. Daerah yang diarsir merupakan Q gabungan R

d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q  R = {2, 10}, sehingga P  (Q  R) = {1, 2, 3, ..., 6}  {2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di bawah ini menunjukkan daerah P  (Q R).

Gambar 7. Daerah yang diarsir merupakan P gabungan dari Q irisan R

e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga Q^C = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Q^C.

Gambar 8 Daerah yang diarsir merupakan komplemen Q

f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5}. Diagram Venn-nya sebagai berikut.

Gambar 9. Daerah yang diarsir merupakan P selisis R

http://blogyudhistihira01.blogspot.com/2013/09/operasi-himpunan-dalam-diagram-venn.html

Matematika Operasi Antar Himpunan dan Diagram Venn

June 17, 2014Uncategorized

SIFAT DAN OPERASI HIMPUNAN
1. Sifat Komutatif Irisan
A ∩ B = B ∩ A
Diagram Venn

2. Sifat Komutatif Gabungan
A ∪ B = B ∪ A
Diagram Venn

3. Sifat Asosiatif
Sifat Asosiatif Irisan
( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
Diagram Venn

OPERASI HIMPUNAN
Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.
1. OPERASI GABUNGAN (UNION)
Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A atau anggota B atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut :
A È B = { x | x Î A V x Î B }
Contoh :
Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan
B = { 1,3,5,7,9 } ,maka
A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }
2. OPERASI IRISAN (INTERSECTION)
Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B, dapat didefinisikan sebagai berikut :
A ∩ B = {x| x ϵ A ʌ x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)
Contoh :
· Jika A = { p,q,r,s } dan B{ r,s,t},maka A ∩B = {r,s}.
· Jika H = { 2,4,6,8,10 },dan I = { 1,3,5 },maka H ∩ I = Ø = { }
3. OPERASI SELISIH
Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A – B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B. Jadi A – B berbeda dengan B – A, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :
A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }
Contoh :
· Jika A = { a, b, c, d, e, f },dan B = { e, f, h }, maka A – B = { a, b, c, d }
· Jika A = { 1, 2, 3, 4, 5 }, dan B = { 1, 3, 7, 5 }, maka A – B = { 2, 4 }
· Jika A = { 1, 2, 3 }, dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A – B = Ø

https://vitarefanny13.wordpress.com/2014/06/17/matematika-operasi-antar-himpunan-dan-diagram-venn/

 

Himpunan Bilangan dan Skemanya

SKEMA BILANGAN

           Macam-Macam Bilangan

1.    Bilangan kompleks

a)  Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner. Bilagan komplek dinyatakan dengan a + bi, a e R, b e R. Contohnya : 3 + 4i, 5 – 7i.

b)   Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakanhimpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagian imajener (khayal).

2.   Bilangan Real

Bilangan nyata adalah semua bilangan yang dapat ditemukan pada garis   bilangan dengan cara penghitungan, pengukuran, atau bentuk geometrik. Bilangan –bilangan tersebut ada di dunia nyata. Ada berbagai macam bilangan yang termasuk dalam bilangan nyata.

Dan merupakan suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan.

3.   Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner adalah apabila sebuah bilangan bukan merupakan bilangan nyata (dalam artian bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional maupun irasional), maka bilangan tersebut dikatakan imajiner.

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

4.   Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan Real yang dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan di mana a dan b harus integer. Jadi, Bilangan irasional adalah bilangan Real yang TIDAK dapat disusun ulang dalam bentuk pecahan .

5.   Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang terdapat pada suatu garis bilangan yang tidak dapat di alokasikan dengan cara biasa karena bilangan ini tidak dapat digambarkan seperti halnya bilangan rasional.

6.   Bilangan Bulat

      Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan 

• Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)

• Nol : 0

• Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

 Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

• Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

Bilangan yang habis dibagi dengan 2

• Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

7.      Bilangan Pecahan

    Bilangan pecahan merupakan bilangan yang mempunyai jumlah kurang atau lebih dari utuh.

§  Terdiri dari pembilang dan penyebut.

§  Pembilangan merupakan bilangan terbagi.

§  Penyebut merupakan bilangan pembagi

   Macam-macam pecahan ;

      a.  Pecahan biasa

Bilangan pecahan yang hanya terdiri atas pembilang dan penyebut.

      b. Pecahan Campuran

Bilangan pecahan yang terdiri atas bilangan utuh, pembilang dan penyebut.

      c. Pecahan Desimal

Merupakan bilangan yang didapat dari hasil pembagian suatu bilangan dengan.

10, 100, 1.000, 10.000 dst.

      d.  Pecahan Persen

                     Persen artinya perseratus.

                     Merupakan suatu bilangan dibagi dengan seratus.

      e. Pecahan Permil

                     Permil artinya perseribu.

                     Merupakan suatu bilangan dibagi seribu

                     Ditulis dengan tanda ‰ 

8.      Bilangan Cacah

a.       Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (1990:116) “bilangan cacah adalah satuan dalam sistem matematis yang abstrak dan dapat diunitkan, ditambah atau dikalikan”. “Himpunan bilangan cacah” adalah himpunan yang semua unsur-unsurnya bilangan cacah {0, 1, 2, 3, 4, 5, ….}. (Cholis Sa’dijah, 2001: 93).

b.      Menurut Muchtar A. Karim, Abdul Rahman As’sari, Gatot Muhsetyo dan Akbar Sutawidjaja (1997: 99) mengemukakan bahwa bilangan cacah dapat didefinisikan sebagai bilangan yang digunakan untuk menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Jika suatu himpunan yang karena alasan tertentu tidak mempunyai anggota sama sekali, maka cacah anggota himpunan itu dinyatakan dengan “nol” dan dinyatakan dengan lambang “0”. Jika anggota suatu himpunan hanya terdiri atas satu anggota saja, maka cacah anggota himpunan tersebut adalah “satu” dan dinyatakan dengan lambang “1”.Demikian seterusnya sehingga kita mengenal barisan bilangan hasil pencacahan himpunan yang dinyatakan dengan lambang sebagai berikut :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, . . .

(Tanda “. . .” hendaknya diartikan sebagai “dan seterusnya” )

c.       Menurut ST.  Negoro dan B. Harahap (1998: 41) menyatakan bahwa “bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang terdiri atas semua bilangan asli dan bilangan nol”.

9.      Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia.

Himpunan bilangan asli Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,...dilambangkan dengan huruf A, dan ditulis A = (1,2,3,4,…)

10.  Bilangan Prima

Bilangan prima yaitu bilangan yang hanya dapat dibagi oleh bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh: bilangan 17 hanya dapat dibagi 1 dan 17. Semua anggota bilangan prima adalah bilangan ganjil kecuali 2.  

11.  Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Sepuluh bilangan komposit yang pertama adalah 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, dan 18. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

SOAL LATIHAN 

1.  Hasil dari  28  +  7 × (–5) adalah ….

A. –175   C. –7
        B. –63     D.   7

        Kunci Jawaban: C
        28  +  7 × (–5) 
        = 28 – 35
        = – 7

        2.  Hasil dari –12 + 20 × 4 – (–6) : 3 = ...
        A.  110  C. 34
        B.  70    D. 30

        Kunci Jawaban: B
        –12 + 20 × 4 – (–6) : 3 
        = –12 + 80 + 6 : 3
        = 68 + 2
        = 70

     3. berikut ini adalah beberapa soal dan penyelesaian bilangan real, semoga     bisa membantu temen-temen yang membutuhkan beberapa referensi tentang bilangan real.

Tentukanlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan :

soal 1.

jawab : 

SUMBER :

        tablodbloger.googlecode.com di akses pada tanggal 02/05/14
http://ketikjari.blogspot.com/2013/07/operasi-pada-bilangan-real.html

http://belajar-soal-matematika.blogspot.com/2013/08/soal-dan-kunci-jawaban-materi-bilangan.html

#BILANGAN ASLI

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol.

Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

Contoh :

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

#BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh :

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

#BILANGAN NEGATIF

Bilangan negatif

(integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

#BILANGAN BULAT

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.

Contoh :

{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

#BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

#BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.
Contoh :
{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

#BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah

suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh :

{3 + 2i}

#BILANGAN IMAJINER

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i² = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :

   x² + 1 = 0
atau secara ekuivalen 
   x² = -1
atau juga sering dituliskan sebagai
   x = √-1

#BILANGAN REAL

Bilangan real atau bilangan riil

menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

#BILANGAN IRRASIONAL

Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π      =          3,141592653358…….. 

√2    =          1,4142135623……..

e      =          2,71828281284590…….

#BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Bilangan  Rasional  diberi lambang Q (berasal dari bahasa Inggris “quotient”).

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

Bilangan pecahan termasuk sekumpulan bilangan rasional. Pecahan desimal adalah pecahan-pecahan dengan bilangan penyebut 10, 100, dst. { 1/10, 1/100, 1/1000 }, semua bilangan ini dapat ditemukan dalam garis-garis bilangan.

Sebuah bilangan asli dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan rasional. Sebagai contoh bilangan asli  2 dapat dinyatakan sebagai 12/6 atau 30/15 dan sebagainya.

#BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

http://shadowz-space.blogspot.com/2012/03/macam-macam-bilangan-dalam-matematika.html

Bilangan Real
Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri.
Contohnya :
0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.

Bilangan Bulat
Bilangan bulat yaitu bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilangan 0 (nol), dan bilangan postitif, yaitu : ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , dan seterusnya.

http://rumus-ilmiah.blogspot.com/2014/02/pengertian-dan-contoh-bilangan-real.html